Môn Toán Lớp 11: Cho phương trình `(m+1)cosx+(m-1)sinx=2m+3`. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2 ` thoản mãn `|x_

1 bình luận về “Môn Toán Lớp 11: Cho phương trình `(m+1)cosx+(m-1)sinx=2m+3`. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm `x_1,x_2 ` thoản mãn `|x_”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Chia cả 2 vế của phương trình cho \sqrt{2m^2 + 2} ta được:

   \frac{m+1}{\sqrt{2m^2 + 2}}cosx + \frac{m-1}{\sqrt{2m^2+2}}sinx = \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}}

   Đặt cos\alpha=\frac{m+1}{\sqrt{2m^2 + 2}},sin\alpha= \frac{m-1}{\sqrt{2m^2+2}},cos\beta = \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}}

   Khi đó phương trình tương đương với:

   cos\alpha.cosx + sin\alpha.sinx = cos\beta

   \iff cos(x-\alpha)=cos\beta

   \iff x = \pm \beta + \alpha + 2k\pi(k \in ZZ)

   Gọi 2 họ nghiệm của phương trình là x_1;x_2.

   Giả sử: x_1 =  \beta + \alpha + 2k\pi,x_2 = -\beta + \alpha + 2k\pi

   Khi đó:|x_1 – x_2| = \frac{2\pi}{3}

   => 2|\beta| = \frac{2\pi}{3}

   => |\beta| = \pi/3

   => cos \beta = cos \frac{\pi}{3}

   => \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}} = 1/2

   => \sqrt{2m^2 + 2} = 4m + 6

   => 2m^2 + 2 = (4m+6)^2

   <=> 16m^2 + 48m + 36 = 0

   \iff m = -3/2

   Mà để phương trình ban đầu có nghiệm thì -1 \le \frac{2m+3}{\sqrt{2m^2+2}} \le 1

   Thử lại ta thấy thỏa mãn.

   Vậy có duy nhất 1 giá trị tham số m là m = -3/2 thỏa mãn.

   Trả lời