Môn Toán Lớp 8: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tìm GTNN của đa thức… `a/{b+c-a}+b/{a+c-b}+c/{a+b-c}`

2 bình luận về “Môn Toán Lớp 8: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tìm GTNN của đa thức… `a/{b+c-a}+b/{a+c-b}+c/{a+b-c}`”

1. Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:

   Đặt:

   $\begin{cases} b + c – a = x\\a + c – b = y\\a + b – c = z \end{cases} (a,b,c,x,y,z>0)$

   $\Rightarrow \begin{cases} a = \dfrac{y + z}{2}\\b = \dfrac{x + z}{2}\\c = \dfrac{x + y}{2} \end{cases}$

   $\Rightarrow A = \dfrac{a}{b + c – a} + \dfrac{b}{a + c – b} + \dfrac{c}{a + b – c}$

   $= \dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x} + \dfrac{\dfrac{x+z}{2}}{y} + \dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}$

   $ = \dfrac{y+z}{2x} + \dfrac{x+z}{2y} + \dfrac{x+y}{2z}$

   = 1/2 . (x/y + x/z + y/x + y/z + z/x + z/y)

   = 1/2 . [(x/y + y/x) + (x/z + z/x) + (y/z + z/y)]

   Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương, ta có:

   x/y + y/z >= 2. \sqrt{x/y . y/x} = 2

   Tương tự, ta có:

   x/z + z/x >= 2; y/z + z/y >= 2

   => A >= 1/2 . (2 + 2 + 2) = 3

   Dấu “=” xảy ra <=> x = y = z

   => a = b = c

   Vậy GTNN của đa thức là 3 tại a = b = c hay tam giác đó là tam giác đều

   Trả lời
2. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

    Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác

   =>{(b+c-a>0),(a+c-b>0),(a+b-c>0):}

   Đặt A=a/(b+c-a)+b/(a+c-b)+c/(a+b-c)

   A=a^2/(ab+ac-a^2)+b^2/(ab+bc-b^2)+c^2/(ac+bc-c^2)

   Áp dụng BĐT bunhia dạng phân thức:

   a^2/(ab+ac-a^2)+b^2/(ab+bc-b^2)+c^2/(ac+bc-c^2)>=(a+b+c)^2/(2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2))

   Ta có:(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0

   <=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca

   <=>a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca

   <=>{((a+b+c)^2>=3(ab+bc+ca)),(2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)<=ab+bc+ca):}

   <=>(a+b+c)^2/(2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2))>=(3(ab+bc+ca))/(ab+bc+ca)=3

   <=>A>=3

   Dấu “=” xảy ra khi a=b=c>0

   Trả lời